环球消息！用链式锁子甲近似彼此接触的正多边形图案
女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
一个新坑，数学手工系列，希望老少爷们儿喜欢。
(资料图)
很多艺术家喜欢用正多边形创建图案，并探索它们的属性。随着计算机图形程序的出现，这变得更容易了。从Mac Plus上的SuperPaint开始，发展到iPad上的Graphic(同时使用CorelDraw的各种版本)，艺术家已经能够在绘制过程中尝试许多想法。
圆形跳环(金属环，其两端接触但不连接)可以表现多边形图案，它是用完全由多边形环组成的图案完成的。在这种情况下，人们可以为每个多边形环使用一个跳环。然而，许多图案也有其他组件，所以相反，可以把每个多边形解释为一个单独的跳环，就好像这个环代表了多边形的轮廓。这类似于[2]中多边形被表示为珠子的方式。
图1：使用链式锁子甲的规则多边形图案近似[3]：
(a)边缘接触的18边形图案，(b)相应的链式锁子甲。
图案转换
让我们考虑一种彼此接触的正多边形的图案。这是有意义的，我们将能够把多边形均匀地分开，并且仍然得到一个“有效”的图案。它基本上只是增加带有边框的图案中每个多边形的大小。这就是当我使用锁子甲来表示图案时所发生的情况；正多边形由主跳环的内部表示，额外部分由连接环的内径跨越。
使用内径尽可能小的连接环(这样它们将几乎不环绕两个主环)将产生接近原始多边形图案的片。多个量规可用于相同模式的主环，只要它们都具有相同的内径，并且它们安装在连接环内。如果我们沿着连接器定义的平面看一条线段，我们可以看到一个类似于将图案转换为珠子钩针时使用的针脚的图案[2]。
图2：转换边接触多边形的模式以用于跳跃环:
(a)边缘接触的18边形图案，其中心图案被链条代替[3]，
(b)图案的放大样本。
(c)进一步放大一些18边形，
(d)多边形内切圆和相邻圆的中心相连的样品，
(e)进一步放大相同的18边形及其内切圆，
(f)对应于样品的链状件的放大部分，
(g)进一步放大对应于18边形的环。
图3：进行中的工作[3]：(a)18边形的图案，(b)带有跳环和钳子的部分完成的部分，(c)大部分完成的部分，(d)过程中的一些步骤。
环
在某些情况下，我自己制作跳环，而不是购买。为了得到精确大小的内径，我发现编织针提供了易于获得的轴来缠绕电线。在作业一段之前，我打开了一些较大的主环，并关闭了一些较小的连接环。将主环钩在适当的位置，并在其上添加适当数量的连接器环，而不是将每个环都关闭，这更容易(图3b)。
展示
环在某种程度上是自由移动的，所以最终的锁甲甲片可能不完全匹配原来的图案，但有很多方法可以解决这个问题。一个相对简单的选择是使用钢环(不是不锈钢)，这样工件就可以排列在磁性片上。
另一种方法是在多边形环的后面或里面添加额外的更大的环，使它们保持大致的圆形排列。或者，可以添加特定尺寸的附加环来将部件组合在一起。在图2的链甲部分，添加了一些椭圆环，将部分捏在一起，以匹配原始的多边形图案。
当然，它们也可以被缝制或钉在布料或软木衬垫上。但它也可能被证明是一种美学上令人愉悦的混合安排，将织物或其他材料附着在多边形环和其他有趣的结构后面，留下其他区域。
图4：使用珠子连接：(a)多边形图案，(b)用圆环表示多边形和珠子表示公共边，(c)珠子和圆环的特写。
图5：作为连接器的线圈和弹簧:
(a)由装订环和切割装订线圈制成的3D形状，
(b)来自图4的图案，使用环作为多边形，弹簧作为共享边，
(c)图5b的特写。
一些变化
没有必要使用圆形连接环；长方形的环也可以。甚至可以用一个或两个孔的珠子代替连接环，仍然可以连成图案(图4)。对于只有一个孔的珠子，线的规格必须足够细以穿过孔两次。因此，珠子(边缘)的图案可以支配环(多边形)的图案。如果我用非常小的珠子来做，最终的作品可能会太精致而无法粗略处理。
线的规格可以变化，以此强调图案。如果开口和长度大小合适，可以用小弹簧或线圈代替连接环，就像我用大装订环和装订线圈制作三维图形一样(图5)。
图6：使用不同类型的链接适应等边线段图案
总之，链式锁子甲通常包含更多复杂的环(或链环)如何编织在一起。几何学家可能会对Frank Farris使用链式邮件[1]将非平面链接用于形成壁纸图案感兴趣。
参考文献
[1] F. Farris. “Wallpaper Patterns from Nonplanar Chain Mail Links.” Bridges Conference Proceedings, Online, Aug. 1-5, 2020, pp. 183-190. http://archive.bridgesmathart.org/2020/bridges2020-183.html
[2] R. Sunder-Raj. “Approximating Edge-Touching Regular Polygon Patterns Using Crocheted Bead Lace.” Bridges Conference Proceedings, Online, Aug. 2-3, 2021, pp. 281-284. http://archive.bridgesmathart.org/2021/bridges2021-281.html
[3] R. Sunder-Raj. “Chain Maille From Patterns of Regular Polygons.” 2021. https://twitter.com/i/moments/ 1498453083180908548
[4] Rashmi Sunder-Raj, Approximating Edge-Touching Regular Polygon Patterns Using Chain Maille
